Оптика глаза

Описание

↑ Филогенетическое развитие глаза

Оптическая система глаза — результат длительного процесса постепенного совершенствования, продолжавшегося многие миллионы лет. Рассматривать отдельные ступени эволюции по образцам глаз ископаемых животных вряд ли возможно: их глаза сохранились плохо либо совсем не сохранились. Но различные виды организмов от одноклеточных до человека живут и сейчас и в своей иерархии в той или иной степени соответствуют процессу исторического развития живых существ.

Любому живому существу присуща чувствительность. Одноклеточные реагируют на механические воздействия и на изменение химического состава среды. У них появляются зачатки чувств, связанных с непосредственным контактом организма с окружающим его веществом,— что-то вроде осязания, обоняния, вкуса. Довольно рано появляется и способность воспринимать колебания среды, т. е. зародыш слуха. Слух — первое чувство, дающее какие-то сведения о событиях, происходящих на некотором расстоянии от организма. Но сведения об очень удаленных явлениях может сообщить организму только свет. На живые существа воздействует Солнце, находящееся на расстоянии миллионов километров. И на основе способности ощущать свет начинают складываться зачатки зрения.

Даже одноклеточные воспринимают не только интенсивность, но иногда и направление света, если одна их сторона освещена сильнее, чем другая. Но одноклеточные прозрачны, а малому поглощению соответствует и слабая чувствительность к свету.

И вот появляется в клетке скопление мелкозернистого пигмента — стигама, или глазное пятно — первый намек на глаз.

У многоклеточных на восприятии света специализируются уже обособленные клетки. Сначала они разбросаны в кожном покрове, потом собираются в группы. У некоторых медуз светочувствительные клетки лежат на дне углубления, что позволяет лучше определять направление на источник света Затем ямка делается глубже, края ее сближаются, появляется полый шар с небольшим отверстием, обращенным во внешнюю среду. Такая полость действует уже по принципу камеры-обскуры, образуя на дне (на стенке против отверстия) изображение окружающих предметов. На рис. 4





изображена схема органа зрения моллюска «наутилус». Глаз уже появился, но он еще нуждается в значительных усовершенствованиях. В каких?

↑ Глаз — камера-обскура

Попробуем рационально сконструировать систему по принципу глаза «наутилуса». Чтобы изображение было более четким, отверстие, заменяющее зрачок, должно быть малым. Пусть его диаметр d, а расстояние от отверстия до дна lг. Удаленный точечный источник создает на дне глаза светлое пятнo, диаметр которого тоже d. Пусть рядом с первым находится второй источник света, который дает другое пятно того же диаметра d. Чтобы пятна не накладывались друг на друга, расстояние между их центрами должно быть по меньшей мере d (пятна касаются своими окружностями). А угол между лучами, проведенными через центр отверстия к центрам пятен, найдем как отношение

?к=d/lr (1)

Легко видеть, что ?к — угловое расстояние между двумя точечными источниками света, которые «наутилус» еще может видеть раздельно, т. е. ?к — угловой предел разрешения. Чем меньше ?к, тем больше острота зрения. Отсюда можно сделать вывод, что выгодно уменьшать d. Но при уменьшении отверстия возрастает вредное влияние дифракции, которая связана с волновой природой света. Угловой предел разрешения, обусловленный дифракцией, выражается формулой

? = 1,22?/d (2)

Положив ? = 555 нм = 5,55-10-5 см, получим

? = 6,77 • 10-5/d (3)

(здесь числитель— в сантиметрах).

Итак, геометрическая оптика — формула (1) требует уменьшения отверстия, а волновая — формула (3) —его увеличения. Разумный компромисс получим, положив ?к = ?. Тогда

d2 = 6,77 • 10-5lr. (4)

Приняв глаз «наутилуса» за шарик диаметром 2 мм, т. е. считая lr = 0,2 см, найдем d = 0,00368 см.

Угловой предел разрешения по формуле (1) или (3) 6 = 1,84 • 10-2 = 1°04'.

Острота зрения человеческого глаза по меньшей мере в 60 раз больше: у человека ? ? 1'.

Может быть все дело просто в том, что рассмотренный нами примитивный глаз слишком мал? Действительно, положив lr = 2,4 см (длина человеческого глаза), получим d = 0,0128 см и ? = 0,0053 = 18'. Все же и теперь острота зрения в 20 раз меньше, чем у человека. Но даже не в этом основной недостаток глаза типа камеры-обскуры. Существенная характеристика оптической системы — ее относительное отверстие

А = d/f' (5)

Освещенность изображения пропорциональна квадрату относительного отверстия. Для глаза «наутилуса» в формуле (5) нужно заменить f' длиной глаза lr и мы получим, что предельный угол попросту равен относительному отверстию:

?к = А. (6)

Таким образом, увеличив в m раз остроту зрения, мы во столько же раз уменьшим относительное отверстие и в m2 раз — освещенность изображения. А ведь для зрения носителем информации служит в конечном счете свет.

Проведены даже расчеты, позволяющие в определенных условиях пересчитать световой поток (в люменах) в поток информации (в битах в секунду). Значит, уменьшение входящего в зрачок светового потока влечет за собой и уменьшение сведений об окружающей обстановке.

На следующих ступенях развития живых организмов неблагоприятная связь между предельным углом разрешения и относительным отверстием [формула (6)] разрывается: у человеческого глаза А в 40 раз больше, чем у рассмотренной нами камеры-обскуры длиной в 2,4 см (следовательно, А2 в 1600 раз больше). Разорвать связь между A и ? природе удалось введением более или менее сложной оптической системы, фокусирующей свет, входящий в зрачок. На рис. 5
[banner_centerrs] {banner_centerrs} [/banner_centerrs]





мы видим, что глаз паука уже заполнен преломляющим веществом, способствующим фокусировке изображений на сетчатке.

Поскольку как конечный результат эволюции нами будет рассмотрен глаз человека, будем считать в дальнейшем, что глаз окружен воздухом, показатель преломления которого равен единице. Какую же оптическую систему можно ввести в полость глаза? Проще всего некоторую среду с показателем преломления nr, которая примет форму шара с радиусом r. Очевидно, что r = lr/2. Лучи, идущие от далеких предметов, фокусируются на расстоянии l' от сферической поверхности. По известной формуле для преломления в одной сферической поверхности

f = nr/nr-1 (7)

Живые существа вырабатывают обычно вещества с довольно малым показателем преломления, примерно таким же, как у воды: nr = 1,333. При таком n имеем f' = 4r = 2lr. Значит, внутри сфeры лучи не сойдутся, и на днеглаза будет сильно размытое изображение. Для близких предметов изображение будет еще хуже.

Есть несколько путей преодоления трудности: удлинение глаза в направлении хода лучей, уменьшение радиуса кривизны вещества в передней части глаза включение внутрь глаза тела (в форме двояковыпуклой линзы) с большим показателем преломления. Различные животные используют тот или иной из этих способов, но чаще всего второй и третий.

↑ Фасеточный глаз

В живой природе наблюдается еще особый, немагистральный путь развития глаза, свойственный в основном насекомым. Фасеточный глаз насекомого имеет форму полусферы, в которую свет может входить с любой стороны в направлении того или иного радиуса сферической поверхности. Состоит полусфера из большого числа плотно прижатых друг к другу конусов с непрозрачными стенками — омматидиев. Внутри омматидиев находятся светочувствительные клетки и преломляющее вещество, направляющее свет вдоль оси омматидия (см. рис. 6).





Поскольку каждый омматидий воспринимает спет, входящий по определенному направлению в пределах небольшого телесного угла, фасеточный глаз в целом способен воспринимать картину внешнего мира, хотя и не с большой точностью. Для некоторых насекомых предельный угол разрешения ? измеряется десятыми градуса. Поле зрения двух глаз насекомого охватывает почти полную сферу. Следует заметить, что для насекомого подобное устройство глаза, несомненно, рационально. Если бы глаз насекомого копировал в уменьшенном масштабе глаз высших животных, например глаз человека, зрачок был бы исключительно мал, около 0,1 мм. По площади он был бы раз в 50 меньше поверхности всего глаза. Следовательно, н поток информации, приходящийся на поверхность зрачка, был бы в 60 раз меньше потока информации, падающего на весь глаз. Малому зрачку соответствовала бы и малая разрешающая способность [см. формулу (3)], что тоже снижает количество получаемой информации. Дальше мы увидим, что нечто похожее па омматидии включается как один из элементов в устройство глаза высших животных и человека.

↑ Глаз человека

Фокусирующую систему глаза человека обычно сравнивают с фотокамерой. Существенная разница заключается, однако, в том, что по обе стороны фотообъектива находится обычно одна и та же среда — воздух. Глазное яблоко — система иммерсионная: пройдя сквозь роговицу, свет строит изображение в среде с показателем преломления nr, отличающимся от единицы. Поэтому для глаза переднее фокусное расстояние f отличается от заднего f' не только по знаку, по и по абсолютному значению. В глазе несколько преломляющих поверхностей, причем форма каждой из них отличается от сферической, а центры их не лежат на одной прямой, т. е. система нецентрирована. Все это делает изучение и описание оптики глаза чрезвычайно затруднительным. Однако для практических расчетов вполне пригодно некоторое приближенное описание, в котором поверхности приняты за сферические и некоторая линия выбрана так, что центры всех сфер лежат к ней достаточно близко и ее можно считать оптической осью глаза.

↑ Схематический глаз

В этом приближении на основании промера параметров многих реальных глаз и вычисления их средних величин можно составить представление о некотором «среднем» глазе человека. В табл. 1





даны параметры схематического глаза по Гульстранду. Мы видим, что для фокусировки лучей от далекого предмета на сетчатке использованы два фактора, о которых мы уже упоминали: радиус кривизны передней поверхности роговицы не 12 мм (половина длины глаза), а 7,7 мм и внутри глаза находится тело — хрусталик — с показателем преломления, большим, чем показатель преломления водянистой влаги и стекловидного тела. Но хрусталик не просто увеличивает оптическую силу глаза. Изменяя свою выпуклость, он меняет рефракцию глаза. Таким образом происходит аккомодация, т. е. перестройка глаза в зависимости от расстояния до предмета, который нужно отчетливо увидеть. Аккомодация изменяет многие параметры глаза, ввиду чего в таблице два столбца: для покоя аккомодации и для максимальной аккомодации (фокусировка ближайшего предмета, который еще можно ясно видеть). Многие величины, однако, не зависят от состояния аккомодации, мы поместили их в середине между столбцами.

Все расстояния отсчитываются от вершины роговицы в направлении к сетчатке, радиусы кривизны — в том же направлении от сферической поверхности. Показатель преломления хрусталика различен в разных его точках. Такое распределение показателя преломления в толще фокусирующей линзы может способствовать уменьшению ее сферической аберрации. В искусственных оптических системах среды с переменным показателем преломления стали применяться только в самые последние годы. Соответствующие оптические детали — так называемые сельфоки (self-focusing) могут решать много различных задач, в частности исправлять аберрацию. Но их расчет довольно сложен, а реальное осуществление очень трудно. Показатель преломления хрусталика непрерывно возрастает от периферии к центру. Условно этому показателю в табл. 1 придано только два значения — меньшее для поверхностной части (в таблице — хрусталик) и большее для внутренней (эквивалентное ядро хрусталика).

Когда мы фиксируем взгляд на какой-нибудь точке, ее изображение фокусируется в центральной ямке сетчатки — в месте, которое обеспечивает наибольшую остроту зрения. Линия, проходящая от фиксируемой точки к центральной ямке, называется зрительной осью. Она не совпадает с оптической осью глаза, а составляет с ней угол 5°.

↑ Построение изображения в глазе

Хотя схема Гульстранда построена приближенно, с ее помощью можно производить расчеты с точностью, вполне достаточной для практических целей. Рассмотрим, например, вопрос, как построить изображение предмета на сетчатке и рассчитать размер изображения. Пусть предмет, высота которого у, находится на расстоянии l от глаза (рис. 7).





Будем считать, что по абсолютному значению l ? f и что, следовательно, при покое аккомодации предмет будет сфокусирован на сетчатку. Поэтому изображение любой точки предмета будет там, где хотя бы один исходящий из нее луч коснется сетчатки. В той же точке (с той точностью, с какой происходит фокусировка) соберутся и остальные лучи, изображающие точку. Нижний конец предмета находится на оси системы, и поэтому один из лучей от точки А пройдет без преломления и попадет на сетчатку в точку А'. Луч от точки В следует направить в переднюю узловую точку глаза N. Как известно, узловыми точками называются две сопряженные точки на оси системы, для которых угловое увеличение равно + 1. Луч, направленный в первую узловую точку N, пройдет по липни, проходящей через вторую узловую точку N', параллельно первоначальному направлению. Пользуясь узловыми точками, легко построить изображение верхней части предмета: точка В' будет изображением точки В.

Чтобы рассчитать размер изображения y', т. е. расстояние между точками А' и В', найдем длину отрезка l', т. е. расстояние между точками N' и А'. В табл. 1 расстояние второй узловой точки от вершины роговицы 7,332 мм, а центральной ямки ?(лежит на сетчатке) 24 мм; отсюда

l' = 24 - 7,332 = 16,668 мм. (8)

Считая угол а малым, не будем делать различия между углом а и его тангенсом, т. е.

y/l= tg ?= ?. (9)

Размер изображения

y' = ?A'B'? = ?l'. (10)

Линейное увеличение найдем как отношение y к y':

(11)

Увеличение — отрицательное ввиду отрицательного знаменателя I. На сетчатке получается обратное и уменьшенное изображение объектов. Линейный размер изображения обратно пропорционален расстоянию до объекта.

Неудобство построений и расчетов, подобных проведенным, связано с наличием двух узловых точек в схеме Гульстранда. Между тем расстояние между ними очень мало: всего 0,254 мм. Поэтому есть смысл провести дальнейшую схематизацию глаза, слив обе узловые точки в одну. Для многих расчетов такой упрощенный глаз — его называют редуцированным — обеспечивает вполне достаточную точность расчетов.

↑ Редуцированный глаз

Существует несколько схем редуцированного глаза. В табл. 2





мы приводим данные редуцированного глаза по Вербицкому, наиболее близкие к данным глаза по Гульстранду. В редуцированном глазе только одна преломляющая поверхность—роговица, и весь глаз наполнен однородной средой с одним показателем преломления nr. Именно поэтому обе узловые точки слипаются в одну, совпадающую с центром кривизны роговицы. Главные плоскости тоже сливаются в одну, и одна главная точка совпадает с вершиной роговицы.

Построение изображения для редуцированного глаза (рис. 8)





упрощается тем, что точку В' мы получаем простым проведением прямой через точки В и N. Для y' и мы получаем формулы, аналогичные формулам (10) и (11); но отрезку l' можно теперь придать определенный смысл. Из табл. 2 видно, что вычисленное выше значение l' = 16,6 мм близко в редуцированном глазе к переднему фокусному расстоянию f, взятому с обратным знаком. Есть некоторая разница (0,4 мм), но она, как мы сейчас увидим, неслучайна. По законам геометрической оптики параксиальное изображение точки А должно образоваться на оси системы в точке, лежащей на расстоянии f' от второй главной точки. В редуцированном глазе вторая главная точка совпадает с первой и лежит в вершине роговицы. От нее и нужно отсчитывать расстояниеf'. Но f' = 23,8 мм, а вся длина глаза 23,4. Значит, параксиальное изображение точки А оказывается за сетчаткой, как раз на 0,4 мм дальше сетчатки. Можно подумать, что в построении редуцированного глаза допущена какая-то ошибка. Дело, однако, в том, что в своих рассуждениях мы дважды подчеркнули, что рассматриваются параксиальные лучи, т. е. лучи, проходящие близко к оси системы. Только они, проходя параллельно оси системы, сходятся в главном фокусе. Лучи, прошедшие дальше от оси, сходятся ближе фокуса вследствие сферической аберрации. Поэтому наиболее четкое изображение получается не в фокальной плоскости, а несколько ближе — в плоскости наилучшей фокусировки, вблизи которой и располагается лежащая на сетчатке точка А'.

Таким образом, разность l и |f| лежит в пределах той погрешности, которую мы допускаем, заменяя оптику широких пучков параксиальным приближением. Поэтому формулы (10) и (11) можно заменить формулами

y' = ?f (12)

?y = -f/l (13)

При приближении предмета к глазу, т. е. при значительном уменьшении абсолютного значения l, формулы (12) и (13) уже не могут применяться. Удержание изображения на сетчатке оказывается возможным только путем увеличения оптической силы, или, как ее еще называют, рефракции глаза F. В реальном глазе это осуществляется увеличением кривизны поверхностей хрусталика. Обозначим аккомодационную добавку к рефракции глаза

?F = l/|l| (14)

Формально ?F = 0 только при |l| = ?. Фактически аккомодацией можно пренебречь уже при |l| ? 5 м, т. е. пренебречь вменением рефракции глаза на 0,2 дптр. В редуцированном глазе аккомодация учитывается формальным приемом: по Вербицкому на каждую диоптрию добавочной рефракции нужно увеличивать показатель преломления глазной среды на 0,004, а радиус Кривизны роговицы, уменьшать на 0,04 мм. Пусть, например, l = - 25 см., т. е. |l| = 0,25 м, а ?F = 4 дптр. При этом

n'r = 1,40 + 4 • 0,004 = 1,416;

r' = 6,8 — 4 • 0,04 = 6,64 мм.

Поскольку в редуцированном глазе только одна преломляющая поверхность, мы можем воспользоваться выведенной для этого случая формулой



где расстояния от вершины роговицы до предмета и до eго изображения обозначены соответственно l и l'r. Поскольку



откуда



Подставив в формулы (16) и (18) значения величии для F = 4 дптр, получим f'= 22,60 мм и l'r = 24,1 мм. Введем величину ?l, изменение которой характеризует смещение изображения при аккомодации: ?l = l'r — lr, где lr — длина глаза по Вербицкому. При ?F = 4 дптр ?l = 0,7 мм, что заметно больше, чем при покое аккомодации, когда ?l = 0,4 мм, т. е. изображение смещается на 0,3 мм. Таким образом, предложенный Вербицким способ учета аккомодации при значительной сложности дает малую точность расчета. Для учета аккомодации можно предположить более простой способ, который обеспечивает, кроме того, значительно меньшее изменение ?l: при увеличении аккомодации на одну диоптрию уменьшать радиус роговицы на 0,1 мм, а показатель преломления сохранять постоянным и равным 1,40, т. е. в формулах (15) — (18) считать n'r = nr = 1,40. Результат такого расчета разности ?l с помощью формул (16) и (18) приведен в табл. 3.





Видно, что ?l изменяется только в пределах 0,1 мм, а не 0,3 мм, как дают расчеты по Вербицкому.

↑ Аберрации глаза

Как и всякой оптической системе, глазу присущи аберрации. Об одной из них — сферической аберрации мы уже упоминали. Сейчас следует сказать об аберрациях глаза несколько подробнее.

Аберрациями любой системы, дающей изображение, называются искажения, приводящие к тому, что изображение оказывается не вполне подобным геометрической проекции предмета на плоскость (или поверхность иной формы) и что каждая точка предмета изображается не точкой, а пятном с довольно сложным распределением яркости в нем.

На оси системы наблюдаются сферическая и хроматическая аберрации. Схема сферической аберрации изображена на рис. 9:





чем дальше от оси проходит параллельный ей луч, тем ближе к линзе пересекает он ось. Наиболее удаленные от оси лучи пройдут от нее па расстоянии h = D/2, где D — диаметр входящего в линзу пучка, и собeрутся в точке Аh, лежащей на расстоянии ?f' от точки А — фокуса параксиальных лучей. Отрезок ?f' называется продольной сферической аберрацией, выраженной в единицах длины.

Однако обычно продольную сферическую аберрацию выражают г. диоптриях и вычисляют по формуле



Здесь длину отрезков нужно брать в метрах. Если ?f' ? f', формулу можно упростить:



Показатель преломления nr зависит от длины волны света. Поэтому, если на линзу падает белый свет, лучи разных цветов соберутся в разных местах: фиолетовые соберутся ближе всего к линзе. В любом месте вместо белой точки будет получаться пятно, и притом не белое, а окрашенное. Снова можно провести расчет, аналогичный расчету по формуле (19), и получить значение хроматической аберрации Axp.

Для любой точки, лежащей не на оси системы, приходится учитывать и другие аберрации. Лучи, лежащие в меридиональной плоскости, собираются в отрезок прямой на одном расстоянии от линзы, а лучи, лежащие в саггитальной плоскости (а плоскости, проходящей через ось пучка и перпендикулярной меридиональной плоскости), — в отрезок на другом расстоянии от линзы, перпендикулярный первому отрезку. В любом месте изображение точки получается в виде размытого несимметричного пятна. Эта аберрация называется астигматизмом косых пучков.

На какой-то поверхности эти размытия наименьшие, и именно здесь следует помещать экран, чтобы получить наиболее четкое изображение. Как правило, такая поверхность — не плоская, что очень неудобно во многих случаях, например для фотографирования, где поверхность кадра должна быть плоской. Отклонение поверхности наилучшей фокусировки от плоскости называется кривизной поля.

Существуют еще аберрации, искажающие форму всего изображения. Важнейшая из них — дисторсия — изменение увеличения при удалении от оптической оси системы.

Каковы же аберрации глаза? По данным Иванова при зрачке 4 мм сферическая аберрация глаза Асф = 1 дптр. То же значение имеет и хроматическая аберрация. Много это или мало? Поскольку рефракция глаза около 60 дптр, относительная погрешность рефракции глаза составляет менее двух процентов.

Точнее аберрации оцениваются степенью их влияния на разрешающую силу глаза или, как ее обычно называют, на остроту зрения. Острота зрения V обратно пропорциональна угловому пределу разрешения:

V= l/?; (21)

?, как правило, выражается в минутах. V — величина безразмерная.

Врачи обычно считают нормой V = 1. В действительности V зависит от многих условий, прежде всего от яркости фона l.

Диаметр зрачка тоже зависит от разных факторов, даже от эмоций человека. Но все же в основном диаметр зрачка dr зависит от яркости. В среднем эта зависимость выражается формулой



где th — тангенс гиперболический; dr — получается в миллиметрах.

Подробно об остроте зрения мы будем говорить дальше. Сейчас скажем только, что при яркости L = 20 кд/м2 dr = 3,7 мм и ? = 0,64'. Если мы обратимся к дифракционной формуле (3) и посчитаем ? при d = 0,37 см, то, переводя радианы в минуты (l' = 2,91 • 10-4), получим практически ту же величину ? = 0,63. Таким образом, фактически острота зрения ограничивается не аберрациями, а дифракцией. Именно такое требование и ставится к современным, хорошо исправленным объективам: их разрешающая сила, во всяком случае в центре поля зрения, должна быть дифракционной. Дальше исправление аберраций уже не помогает увеличить разрешающую силу.

Хроматическая аберрация, примерно равная сферической, как будто более опасна: она дает не просто пятно рассеяния, а окрашенное пятно. Однако в повседневной жизни мы никогда не замечаем цветных каемок вокруг видимых предметов. Их можно обнаружить только в специально поставленных опытах. Хроматическую аберрацию легко исправить поставленной перед глазом линзой с хроматической аберрацией обратного знака. Неоднократно проводились эксперименты с линзами такого рода. Однако применение их практически не изменяло ни остроты зрения глаза, ни вида находящихся в поле зрения предметов. Делались попытки исправить линзами также сферическую аберрацию глаза. И в этом случае улучшения остроты зрения не наблюдалось.

Следует заметить, что если просчитать ход лучей в схематическом глазе по Гульстранду, мы получим сферическую аберрацию, превышающую ту, которая наблюдается в реальном глазе. Объясняется это тем, что Гульстранд считал радиус кривизны роговицы постоянным, а в действительности в периферической зоне роговицы радиус кривизны больше, чем в центральной. Увеличение радиуса приводит к уменьшению преломляющей силы, т. е. к увеличению фокусного расстояния [см. формулу (16)] и, следовательно, к приближению фокуса крайних лучей к фокусу лучей параксиальных. В недавнее время и в технике стали применять линзы с асферическими поверхностями, хотя точное изготовление их сопряжено с большими трудностями.

Таким образом, оптическая система глаза исправлена достаточно хорошо, чтобы полностью использовать все возможности, предоставляемые волновой природой света.

----

Статья из книги: Глаз и свет | Луизов А.В.