Многомерное шкалирование. Построение пространственной модели стимулов

Описание

Как уже было сказано, построение психологического пространства предполагает решение двух самостоятельных задач: определения минимального числа осей, необходимых и достаточных для описания структуры межстимульных различий, и вычисления числовых значений, определяющих положение каждого стимула относительно базисных осей координат.

Определение базисной размерности.
Определение достаточного числа измерений основано на выборе некоторого критерия, по которому оценивается расхождение между исходной матрицей данных и вычисленными межточечными расстояниями. В идеальном случае это расхождение должно равняться нулю, но в эмпирических данных всегда присутствуют случайные ошибки — шум, величина которого чаще всего неизвестна, поэтому на практике критерий выбирается не нулевой, но достаточно небольшой.

Например, Торгерсон предлагает следующий метод для определения минимальной размерности. Вычисляется центрированная матрица скалярных произведений между стимулами. Характеристические корни этой матрицы упорядочиваются по величине. Размерность определяется по числу собственных векторов, соответствующих наибольшим характеристическим корням, так, чтобы разброс полученных координат вносил достаточно большой вклад в дисперсию (75—95%). Остальная часть дисперсии рассматривается как следствие случайных ошибок.
[banner_centerrs] {banner_centerrs} [/banner_centerrs]

Метод определения минимального числа измерений в ходе построения пространственной модели впервые был предложен Шепардом. Он основан на общем принципе понижения размерности, который представляет собой растяжение больших расстояний и сжатие маленьких расстояний. Действительно, чтобы поместить, например, треугольник в одномерном пространстве, не нарушая условий монотонности, необходимо сжать его меньшие стороны и растянуть большую. Процедура понижения размерности, так же как и достижение монотонности, основана на формировании множества векторов для каждой точки i, которые должны сжимать маленькие расстояния и растягивать большие.

Критерием разделения расстояний на маленькие и большие служит среднее арифметическое от всех межточечных расстояний. Поскольку процедура понижения размерности ориентирована на выполнение условия полной монотонности по отношению к различиям, то вместо рангов расстояний, которые на данном шаге итерации не обязательно удовлетворяют условию монотонности, лучше брать ранг самих различий. Тогда вектор, формирующийся для точки i по отношению к точке j, будет определять направление вектора (от точки i к точке j или наоборот), а величина разности (Dij—D) будет определять длину вектора.

Сформированные таким образом (n—1) векторы для данной точки i также рассматриваются как действующие аналогично (n—1)-мерному вектору. Как и в ходе достижения монотонности, на каждом шаге итерации меняется положение всех n точек.

При использовании подобных формальных критериев полезно учитывать, что качество аппроксимации исходных данных построенным пространством тем выше, чем больше выбранное число измерений. При увеличении размерности величина ошибки монотонно убывает, поэтому предпочтительнее такое число осей r, при котором эта функция становится достаточно пологой.

Формальные критерии определения размерности имеют довольно приблизительную ценность, поскольку в каждом случае выбор критерия оказывается достаточно произвольным. Более важными являются другие критерии, которые основаны на хорошей содержательной интерпретации полученного решения. Содержательная интерпретация есть конечный результат производимого анализа, и в любом случае именно она определяет и значимость построенного пространства, и правильность выбора размерности.

Поэтому некоторые авторы предлагают производить отображения отдельно в одно-, двух-, трех- и n-мерные пространства, строить оптимальные конфигурации точек и затем выбрать из них такую, которая с точки зрения содержательной интерпретации даст наилучшее решение. Для хорошей интерпретации существенно правильное направление осей координат.

В некоторых случаях направление осей координат выбирается в ходе самого алгоритма построения пространственной модели, но в большинстве алгоритмов многомерного шкалирования оси координат имеют произвольное направление, поэтому для облегчения содержательной интерпретации используют вращение пространства с тем, чтобы получить оси, связанные с определенными группами стимулов. Аналогичным вспомогательным средством является и метод приведения к главным осям.

Обычно только небольшое число осей получает удовлетворительную интерпретацию, остальные измерения чаще всего являются следствием экспериментального шума. Некоторые измерения могут быть связаны с отдельным подмножеством стимулов или с данным типом испытуемых, поэтому большой разброс, полученный по данной размерности, еще не означает ее общей важности.

Из этого следует очень важный вывод, что окончательное решение не может быть основано на результатах отдельных экспериментов, а необходимо исследование независимых групп данных с привлечением различных методов многомерного шкалирования.

Вычисление координат.
К настоящему времени для вычисления координат точек в субъективном пространстве разработано большое число разнообразных алгоритмов. Обзоры этих алгоритмов на русском языке можно найти в работах Терехиной, Измайлова, Шепарда.